2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一1，且α1=(1，a+1，2)T，α2=(a一1，一a，1)T分别是λ1，λ2对应的特征向量．又A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0，属于λ0的特征向量为α0=(2，一5a，2a+1)T．试求a、λ0的值

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一1，且α1=(1，a+1，2)T，α2=(a一1，一a，1)T分别是λ1，λ2对应的特征向量．又A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0，属于λ0的特征向量为α0=(2，一5a，2a+1)T．试求a、λ0的值

admin2019-12-26  65
问题 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一1，且α1=(1，a+1，2)T，α2=(a一1，一a，1)T分别是λ1，λ2对应的特征向量．又A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0，属于λ0的特征向量为α0=(2，一5a，2a+1)T．试求a、λ0的值，并求矩阵A．
选项
答案由于|A|=λ1λ2λ3=－2，故A可逆． 由于α0是A*的属于λ0的特征向量．所以A*α0=λ0α0．于是AA*α0=λ0Aα0,即|A|α0=λ0Aα0，亦即－2α0=λ0Aα0．故[*]从而[*]是A的特征值，α0是A的关于[*]对应的特征向量． 又由于α1，α2为实对称矩阵A的不同特征值的特征向量，故α1，α2正交，即α1Tα2=0，得a=±1． 无论a=1还是a=－1，则有α0与α1，α2中任何一个都线性无关，所以α0应是矩阵A的属于λ3的特征向量，于是有[*]从而λ0=2．且α0与α1正交，即α0Tα1=5a2+a－4=0，则[*]或a=－1，于是a=-1，λ0=2． 令[*]则P可逆，且 [*] 所以 [*]
解析
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考研数学三

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