设f(x)在[-a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，且存在. (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式； (2)证明：存在ξ1，ξ2∈[-a，a].使得

admin2022-08-19 61

问题设f(x)在[-a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，且

存在.
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；
(2)证明：存在ξ₁，ξ₂∈[-a，a].使得

选项

答案(1)由[*]存在，得f(0)=0，f′(0)=0，f″(0)=0，则f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为f(x)=[f′″(0)/3!]x³+[f⁽⁴⁾(ξ)/4!]x⁴，其中ξ介于0与x之间. (2)(1)中麦克劳林公式两边积分得∫_-a^af(x)dx=1/24∫_-a^af⁽⁴⁾(ξ)x⁴dx. 因为f⁽⁴⁾(x)在[-a，a]上为连续函数，所以f⁽⁴⁾(x)在[-a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx⁴≤f⁽⁴⁾(ξ)x⁴≤Mx⁴，两边在[-a，a]上积分得(2m/5)a⁵≤∫_-a^af⁽⁴⁾(ξ)x⁴dx≤(2M/5)a⁵，从而ma⁵/60≤1/24∫_-a^af⁽⁴⁾(ξ)x⁴dx≤Ma⁵/60，或ma⁵/60≤∫_-a^af(x)dx≤Ma⁵/60，于是m≤(60/a⁵)∫_-a^af(x)dx≤M，根据介值定理，存在ξ₁∈[-a，a]，使得 f⁽⁴⁾(ξ₁)=(60/a⁵)∫_-a^af(x)dx，或a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)=60∫_-a^af(x)dx. 再由积分中值定理，存在ξ²∈[-a，a]，使得 a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)=60∫_-a^af(x)dx=120af(ξ₂)，即a⁴f⁽⁴⁾(ξ₁)=120f(ξ₂).

解析

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考研数学三

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设f(x)在[-a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，且存在. (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式； (2)证明：存在ξ1，ξ2∈[-a，a].使得

考研数学三

=_______．

设a0＞0，an+1=(n=0，1，2，…)，证明：an存在，并求之．

求微分方程xy’=yin的通解．

设f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx．

若由曲线y＝2，曲线上某点处的切线以及x＝1，x＝3围成的平面区域的面积最小，则该切线()．

设A，B是两个随机事件，P(A｜B)＝0．4，P(B｜A)＝0．4，P(A｜B)＝0．7，则P(A＋B)＝_____________．

电话公司有300台分机，每台分机有6％的时间处于与外线通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于0．95?

设a1＝1，当n≥1时，an＋1＝，证明：数列{an}收敛并求其极限．

在集合{1，2，3}中取数两次，每次任取一个数，作不放回抽样，以X与Y分别表示第一次和第二次取到的数，求在X=2的条件下关于Y的边缘分布律．

在随机地抛掷两枚均匀骰子的独立重复试验中，求两枚骰子点数和为5的结果出现在它们的点数和为7的结果之前的概率为_______．

A．豚鼠B．小鼠C．大鼠D．狗E．家兔皮肤过敏试验首选的实验动物是()

依法可能成为附带民事诉讼原告人的有：()

下列对结构的作用不属于可变荷载范畴的是()。

编制措施项目清单时应依据(　　)。

根据《票据法》规定，背书不得记载的事项包括()。

下列犯罪中属于告诉才处理的犯罪有()。

《中国少年先锋队队歌》是儿童影片《英雄小八路》的主题歌，原名_________。

行政机关公务员对处分不服向行政监察机关申诉的，按照《行政诉讼法》的规定办理。()

VB中，若没有显式声明变量的数据类型，则默认的类型是()。

(1)It’s7pmonabalmySaturdaynightinJune,andIhavejustorderedmyfirstbeerinICervejaria,arestaurantinZambujeir

设f(x)在[-a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，且存在. (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式； (2)证明：存在ξ1，ξ2∈[-a，a].使得

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=_______．

设a0＞0，an+1=(n=0，1，2，…)，证明：an存在，并求之．

求微分方程xy’=yin的通解．

设f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx．

若由曲线y＝2，曲线上某点处的切线以及x＝1，x＝3围成的平面区域的面积最小，则该切线()．

设A，B是两个随机事件，P(A｜B)＝0．4，P(B｜A)＝0．4，P(A｜B)＝0．7，则P(A＋B)＝_____________．

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设a1＝1，当n≥1时，an＋1＝，证明：数列{an}收敛并求其极限．

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编制措施项目清单时应依据( )。

根据《票据法》规定，背书不得记载的事项包括()。

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《中国少年先锋队队歌》是儿童影片《英雄小八路》的主题歌，原名_________。

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(1)It’s7pmonabalmySaturdaynightinJune,andIhavejustorderedmyfirstbeerinICervejaria,arestaurantinZambujeir

编制措施项目清单时应依据(　　)。