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设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r（B）=n。
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r（B）=n。
admin
2017-12-29
60
问题
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B
T
为B的转置矩阵，试证：B
T
AB为正定矩阵的充分必要条件是r（B）=n。
选项
答案
必要性：设B
T
AB为正定矩阵，所以r（B
T
AB）=n，又因为r（B
T
AB）≤r（B）≤n，所以r（B）=n。 充分性：因（B
T
AB）
T
=B
T
A
T
（B
T
）
T
=B
T
AB，故B
T
AB为实对称矩阵。 若r（B）=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意的n维实列向量x≠0，有Bx≠0。 又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有（Bx）
T
A（Bx）＞0。于是当x≠0，有x
T
（B
T
AB）x=（Bx）
T
A（Bx）＞0，故B
T
AB为正定矩阵。
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/BLX4777K
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考研数学三
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