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  3. 已知齐次方程组(Ⅰ)解都满足方程χ1＋χ2＋χ3＝0，求a和方程组的通解．

已知齐次方程组(Ⅰ)解都满足方程χ1＋χ2＋χ3＝0，求a和方程组的通解．

admin2016-10-21  63
问题 已知齐次方程组(Ⅰ)解都满足方程χ1＋χ2＋χ3＝0，求a和方程组的通解．
选项
答案求出(Ⅰ)的解，代入χ1＋χ2＋χ3＝0，决定a． 用矩阵消元法，设系数矩阵为A， A＝[*]＝B． 当a＝0时，(Ⅰ)和方程χ1＋χ2＋χ4＝0同解，以χ2，χ3，χ4为自由未知量求出一个基础解系 η1＝(－1，1，0，0)T，η2＝(0，0，1，O)T，η3＝(－1，0，0，1)T． 其中η1，η2都不是χ1＋χ2＋χ3＝0，的解，因此a＝0不合要求． 当a≠0时，继续对B进行初等行变换 [*] 以χ4为自由未知量，得基础解系η＝(a－1，－a，[*]，1)T．代入χ1＋χ2＋χ3＝0， (a－1)＋(－a)＋[*]＝0， 求得a＝1／2．即当a＝1／2时，η适合χ1＋χ2＋χ3＝0，从而(Ⅰ)的解都满足χ1＋χ2＋χ3＝0．当a≠1／2时，η不满足χ1＋χ2＋χ3＝0． 得a＝1／2为所求．此时，方程组的通解为c(－1／2，－1／2，1，1)T，c可取任何常数．
解析
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考研数学二

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