2. 考研
  3. 记曲面z=x2+y2-2x-y在区域D：x≥0，y≥0，2x+y≤4上的最低点P处的切平面为π，曲线在点Q(1，1，-2)处的切线为l，求点P到直线l在平面π上的投影l’的距离d．

记曲面z=x2+y2-2x-y在区域D：x≥0，y≥0，2x+y≤4上的最低点P处的切平面为π，曲线在点Q(1，1，-2)处的切线为l，求点P到直线l在平面π上的投影l’的距离d．

admin2017-08-28  80
问题 记曲面z=x2+y2-2x-y在区域D：x≥0，y≥0，2x+y≤4上的最低点P处的切平面为π，曲线在点Q(1，1，-2)处的切线为l，求点P到直线l在平面π上的投影l’的距离d．
选项
答案由z’x=2x-2=0，z’y=2y-1=0，得驻点为[*]，在驻点处 A=z’’xx=2，B=z’’xy=0，C=z’’yy=2， △=B2-AC=-4＜0，且A＞0，所以[*]为极小值，而驻点唯一，故[*]为曲面的最低点，曲面在P处的切平面π的方程为z=[*] 曲面x2+y2+z2=6在点Q(1，1，-2)处的法向量为n1=(2，2，-4)；平面x+y+z=0在点Q(1，1，-2)处的法向量为n2=(1，1，1)；其交线在点Q(1，1，-2)处的切向量为n=n1×n2=(2，2，-4)×(1，1，1)=6(1，-1，0)，于是直线l的方程为[*]，其一般式方程为[*] 设过直线l的平面束方程为(x+y-2)+λ(z+2)=0，法向量nλ=(1，1，λ)，而切平面的法向量nπ=(0，0，1)，令nλ垂直nπ，得λ=0． 即直线l在平面π上的投影l’的方程为[*]到直线l’的距离为 [*]
解析
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考研数学一

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