设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX＝0有解向量α，且Ak-1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α线性无关．

admin2019-03-12 74

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kX＝0有解向量α，且A^k-1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，A^k-1α线性无关．

选项

答案设有一组数λ₀，λ₁，…，λ_k-1使λ₀α＋λ₁Aα＋…＋λ_k-1A^k-1α＝0，两端左乘A^k-1，由于A^k+mα＝0(m＝0，1，2，…)，[*]λ₀A^k-1α＝0，又A^k-1α≠0，[*]λ₀＝0，同理可证λ₁＝…＝λ_k-1＝0，故α，Aα，…，A^k-1α线性无关．

解析

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考研数学三

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