设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0＜r≤n)．证明：其中Er是，r阶单位阵．

admin2015-07-22 68

问题设A是n阶矩阵，满足A²=A，且r(A)=r(0＜r≤n)．证明：

其中E_r是，r阶单位阵．

选项

答案 r(A)=r，A有r个列向量线性无关，设为前r列，将A按列分块，有 A²=A[ξ₁，ξ₂，…，ξ_n]=[ξ₁，ξ₂，…，ξ_n]=A，即Aξ_i=ξ_i，i=1，2，…，r，故λ=1至少是r重根，又r(A)=r，AX=0有n-r个线性无关解，设为 η_n+1，η_n+2，…，η_n，即Aη_j=0，j=r+1，…，n故A=0是A的特征值η_j，j=r+1，…，n是对应的特征向量．令P=[ξ₁，ξ₂，…，ξ_r，η_r+1，η_n]，有P^-1AP=[*]

解析

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考研数学三

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