已知函数f(x)=lnx，g(x)=ex．设直线l为f(x)的图象上一点A(x0，f(x0))处的切线．证明：在区间(1，+∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切．

admin2017-10-16 21

问题已知函数f(x)=lnx，g(x)=e^x．
设直线l为f(x)的图象上一点A(x₀，f(x₀))处的切线．证明：在区间(1，+∞)上存在唯一的x₀，使得直线l与曲线y=g(x)相切．

选项

答案∵f^’(x)=[*]，f(x₀)=lnx₀， ∴切线l的方程为y—lnx₀=[*](x一x₀) 即y=[*]+lnx₀一1①，设直线l与曲线y=g(x)相切于点(x₁，e^x₁)， ∵g^’(x)=e^x， ∴e^x₁=[*]． [*] 结合零点存在性定理，知道方程φ(x)=0必在区间(e，e²)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x₀，故结论成立．

解析

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