(2006年)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1＝(－1，2，－1)T，α2＝(0，－1，1)T是线性方程组Aχ＝0的两个解． (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ＝A．

admin2016-05-30 101

问题 (2006年)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α₁＝(－1，2，－1)^T，α₂＝(0，－1，1)^T是线性方程组Aχ＝0的两个解．
(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得Q^TAQ＝A．

选项

答案(Ⅰ)由于矩阵A的各行元素之和均为3，所以 [*] 因为Aα₁＝0，Aα₂＝0，即 Aα₁＝0α₁，Aα₂＝0α₂ 故由定义知λ₁＝λ₂＝0是A的二重特征值，α₁，α₂为A的属于特征值O的两个线性无关特征向量；λ₃＝3是A的一个特征值，α₃＝(1，1，1)^T为A的属于特征值3的特征向量．总之，A的特征值为0，0，3．属于特征值0的全体特征向量为k₁α₁＋k₂α₂(k₁，k₂不全为零)，属于特征值3的全体特征向量为k₃α₃(k₃≠0)． (Ⅱ)对α₁，α₂正交化．令ξ₁＝α₁＝(－1，2，－1)^T [*] 再分别将ξ₁，ξ₂，α₃单位化，得 [*] 那么Q为正交矩阵，且Q^TAQ＝A．

解析

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考研数学二

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(2006年)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1＝(－1，2，－1)T，α2＝(0，－1，1)T是线性方程组Aχ＝0的两个解． (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ＝A．

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