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  3. 设有方程x3一27x+c=0，试问c为何值时，方程有三个相异的实根．

设有方程x3一27x+c=0，试问c为何值时，方程有三个相异的实根．

admin2015-08-28  77
问题 设有方程x3一27x+c=0，试问c为何值时，方程有三个相异的实根．
选项
答案考虑函数f(x)=x3—27x+c，它在(一∞，+∞)上连续，且f’(x)=3(x2—9)．可知f(x)有稳定点x1=一3，x2=3．易知x=-3点为函数f(x)的极大值点，x=3为f(x)的极小值点． 由此可知方程f(x)=0有三个相异实根当且仅当 f(一3)=c+54＞0 且 f(3)=c一54＜0． [*] f’(x)＞0， x∈(一∞，-3)∪(3，+∞)， f’(x)＜0， x∈(一3，3) 可知方程f(x)=0分别在区间(一∞，一3)，(一3，3)，(3，+∞)内有且仅有一个实根，即方程有三个相异实根． 由此可知当一54＜c＜54时，方程x3一27x+c=0有相异的三个实根．
解析
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