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已知A=,a是一个实数. (1)求作可逆矩阵U,使得U-1AU是对角矩阵. (2)计算|A-E|.
已知A=,a是一个实数. (1)求作可逆矩阵U,使得U-1AU是对角矩阵. (2)计算|A-E|.
admin
2018-11-23
61
问题
已知A=
,a是一个实数.
(1)求作可逆矩阵U,使得U
-1
AU是对角矩阵.
(2)计算|A-E|.
选项
答案
(1)先求A的特征值. |λE-A|=[*]=(λ-a-1)
2
(λ-a+2) A的特征值为a+1(二重)和a-2(一重). 求属于a+1的两个线性无关的特征向量,即求[A-(a+1)E]X=0的基础解系: [*] 得[A-(a+1)E]α=0的同解方程组 得基础解系η
1
=(1,1,0)
T
,η
2
=(1,0,1)
T
. 求属于a-2的一个特征向量,即求[A-(a-2)E]X=0的一个非零解: [*] 得[A-(a-2)E]X=0的同解方程组[*] 得解η
3
=(-1,1,1)
T
. 令U=(η
1
,η
2
,η
3
),则 U
-1
AU=[*] (2)A-E的特征值为a(二重)和a-3,于是|A-E|=a
2
(a-3).
解析
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考研数学一
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