设f(x)在(一∞，+∞)上是正值连续函数，判别φ(x)=∫－aa｜x一u｜f(u)du在 (一∞，+∞)上的凹凸性．

admin2017-05-31 49

问题设f(x)在(一∞，+∞)上是正值连续函数，判别φ(x)=∫_－a^a｜x一u｜f(u)du在 (一∞，+∞)上的凹凸性．

选项

答案用二阶导数的符号判定． φ(x)=∫_－a^x(x—u)f(u)du+∫_x^a(u一x)f(u)du =x∫_－a^xf(u)du—∫_－a^xuf(u)du+∫_x^auf(u)du一x∫_x^af(u)du，φ’(x)=∫_－a^xf(u)du+xf(x)一xf(x)一xf(x)一∫_x^af(u)du+xf(x) =∫_－a^xf(u)du—∫_x^af(u)du，φ’’(x)=f(x)+f(x)=2f(x)>0．所以，φ(x)是(一∞，+∞)上的上凹函数(或下凸函数)．

解析

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