2. 考研
  3. 设函数f(x)在[a，+∞)内二阶可导且f"(x)＜0，又b＞a，f(b)＞0，f’(b)＜0，求证： (Ⅰ)； (Ⅱ)方程f(x)=0在[b，+∞)内有且仅有一个实根． (Ⅲ)设又有f(a)＞0，则方程f(x)=0在[a，+∞)内有且仅有一个实根．

设函数f(x)在[a，+∞)内二阶可导且f"(x)＜0，又b＞a，f(b)＞0，f’(b)＜0，求证： (Ⅰ)； (Ⅱ)方程f(x)=0在[b，+∞)内有且仅有一个实根． (Ⅲ)设又有f(a)＞0，则方程f(x)=0在[a，+∞)内有且仅有一个实根．

admin2015-04-30  101
问题 设函数f(x)在[a，+∞)内二阶可导且f"(x)＜0，又b＞a，f(b)＞0，f’(b)＜0，求证：
(Ⅰ)；
(Ⅱ)方程f(x)=0在[b，+∞)内有且仅有一个实根．
(Ⅲ)设又有f(a)＞0，则方程f(x)=0在[a，+∞)内有且仅有一个实根．
选项
答案(Ⅰ)f"(x)＜0(x∈[0，+∞))→f(x)在[a，+∞)是凸函数→ f(x)＜f(b)+f’(b)(x一b) (x∈[a，+∞)，x≠b)． [*] (Ⅱ)f(x)在[a，+∞)连续，f(b)＞0，[*](a，+∞)有一个零点． 因f"(x)＜0(x∈[a，+∞))→f’(x)在[a，+∞)[*]．由f’(b)＜0→f’(x)＜0(x＞b)→f(x)在[b，+∞)[*]→f(x)在(b，+∞)只有唯一零点． (Ⅲ)由题(Ⅱ)只须证f(x)＞0(x∈[a，b])．当x∈[a，b]时，由于f’(b)＜0，f’(x)[*]，只有以下两种情形： 1° f’(a)≤0，f’(x)＜0(x∈(a，b])→f(x)在[a，b][*]，如图(1)→ f(x)≥f(b)＞0(x∈[a，b])； [*] → f(x)≥f(a)＞0(0≤x≤x0)， f(x)≥f(b)＞0 (x0≤x≤b) →f(x)＞0(x∈[a，b])． 因此f(x)在[a，+∞)有唯一零点，即方程f(x)=0在[a，+∞)有且仅有一个实根．
解析
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考研数学二

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