设3阶矩阵A的特征值为—1，1，2，矩阵A与矩阵B相似，则下列矩阵可逆的是( )．

admin2020-10-21 35

问题设3阶矩阵A的特征值为—1，1，2，矩阵A与矩阵B相似，则下列矩阵可逆的是( )．

选项 A、B+E
B、B^T+E．
C、B^-1+E．
D、B^*一E．

答案D

解析由于矩阵B^T与B具有相同的特征值，所以B^T+E与B+E具有相同的特征值，故｜B^T+E｜=｜B+E｜，B^T+E与B+E要么都可逆，要么都不可逆，A，B不正确·
由题意知，B的特征值也为一1，1，2，从而B^-1的特征值为一1，1，

；由｜B｜=一2知B^*的特征值为2，一2，一1，进一步可知B^-1+E的特征值为0，2，

，B^*一E的特征值为1，—3，一2，因为｜B^-1+E｜=0，所以B^-1+E不可逆，C不正确，由｜B^*一E｜=6≠0，知B^*一E可逆，应选D．

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考研数学二

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