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  3. 微分方程y"－2y′－3y＝e3x(e－4x＋1)有特解形式(A，B为某些待定常数)( )

微分方程y"－2y′－3y＝e3x(e－4x＋1)有特解形式(A，B为某些待定常数)( )

admin2021-04-07  65
问题 微分方程y"－2y′－3y＝e3x(e－4x＋1)有特解形式(A，B为某些待定常数)(    )
选项 A、y*＝xe－x(A＋Be4x)
B、y*＝(Ax＋Be4x)
C、y*＝e3x(A＋Be－4x)
D、y*＝e3x(Ax＋Be－4x)
答案A
解析 微分方程y"－2y’－3y＝e3x(e－4x＋1)对应的齐次方程的特征方程为r2－2r－3＝0，特征根为r1＝－1，r2＝3。
而自由项e3x(e－4x＋1)＝e－x＋e3x，原方程可拆成两个方程
y"－2y’－3y＝e－x，y"－2y’－3y＝e3x，
前者的一个特解可记为y1*＝Axe－x(因为－1是特征根)；
后者的一个特解可记为y2*＝Bxe3x(因为3是另一个特征根)，
则原方程的特解形式为y*＝x(Ae－x＋Be3x)＝xe－x(A＋Be4x)，选A。
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考研数学二

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