设向量组α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

admin2021-11-09 77

问题设向量组α₁，α₂，…，α_t是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关．

选项

答案设kβ+k₁(β+α₁)+…+k_t(β+α_t)=0，即 (k+k₁+…+k_t)β+k₁α₁+…+k_tα_t=0，等式两边左乘A，得(k+k₁+…+k_t)Aβ=0[*]k+k₁+…+k_t=0，则k₁α₁+…+k_tα_t=0．由α₁，α₂，…，α_t线性无关，得k₁=…=k_t=0,k=0，所以β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关．

解析

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考研数学二

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用变量代换x=sint将方程化为y关于t的方程，并求微分方程的通解。
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设A,B,C,D都是n阶矩阵，r(CA+DB)=n.设ξ1,ξ2,...,ξr与η1,η2,...,ηs分别为方程组AX=0与BX=0的基础解系，证明：ξ1,ξ2,...,ξr，η1,η2,...,ηs线性无关。
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