设f(χ)在[a，b]上连续，且f〞(χ)＞0，对任意的χ1，χ2∈[a，b]及0＜λ＜1，证明：f[λχ1＋(1－λ)χ2]≤λf(χ1)＋(1－λ)f(χ2)．

admin2017-09-15 107

问题设f(χ)在[a，b]上连续，且f〞(χ)＞0，对任意的χ₁，χ₂∈[a，b]及0＜λ＜1，证明：f[λχ₁＋(1－λ)χ₂]≤λf(χ₁)＋(1－λ)f(χ₂)．

选项

答案令χ₀＝λχ₁＋(1－λ)χ₂，则χ₀∈[a，b]，由泰勒公式得 f(χ)＝f(χ₀)＋f′(χ₀)(χ－χ₀)＋[*](χ－χ₀)²，其中ξ介于χ₀与χ之间，因为f〞(χ)＞0，所以f(χ)≥f(χ₀)＋f′(χ₀)(χ－χ₀)，于是[*] 两式相加，得f[λχ₁＋(1－λ)χ²]≤λf(χ₁)＋(1－λ)f(λ₂)．

解析

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考研数学二

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