已知二次型f=2x12+3x22+332+2ax2x3(a＞0)通过正交变换化成标准形f=y+2y+5y．求参数a及所用的正交变换矩阵．

admin2022-06-30 112

问题已知二次型f=2x₁²+3x₂²+3₃²+2ax₂x₃(a＞0)通过正交变换化成标准形f=y+2y+5y．求参数a及所用的正交变换矩阵．

选项

答案设A=[*]，则f==X^TAX． A的特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=5，由｜A｜=2(9－a²)=10得a=2，A=[*] λ₁=1代入(λE－A)X=0，由E－A=[*]得 λ₁=1对应的线性无关的特征向量为a₁=[*]； λ₂=2代入(λE－A)X=0，由2E－A=[*]得 λ₂=2对应的线性无关的特征向量为a₂=[*]； λ₃=5代入(λE－A)X=0，由5E－A=[*]得 λ₃=5对应的线性无关的特征向量为a₃=[*] 令γ₁=[*]，则Q=[*]，则X^TAX[*]y₁²+2y₂²+5y₃²．

解析

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考研数学二

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