曲面z=x2+y2与平面2x+4y—z=0平行的切平面的方程是_________。

admin2020-03-10 32

问题曲面z=x²+y²与平面2x+4y—z=0平行的切平面的方程是_________。

选项

答案2x+4y一z=5

解析令F(x，y，z)=z一x²一y²，则F’_x=一2x，F’_y=一2y，F’_z=1．
设切点坐标为(x₀，y₀，z₀)，则切平面的法向量为{一2x₀，一2y₀，1}，其与已知平面2x+4y一z=0平行．因此有

可解得x₀=1，y₀=2．相应地有z₀=x₀²+y₀²=5．
故所求的切平面方程为2(x一1)+4(y一2)一(z—5)=0，即2x+4y一z=5．

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