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  3. 设f(x)二阶可导，且，f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得ξf’’(ξ)+2f’(ξ)=0．

设f(x)二阶可导，且，f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得ξf’’(ξ)+2f’(ξ)=0．

admin2019-09-04  100
问题 设f(x)二阶可导，且，f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得ξf’’(ξ)+2f’(ξ)=0．
选项
答案由[*]得f(0)=1，f’(0)=0， f(0)=f(1)=1，由罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)=0．令φ(x)=x2f’(x) φ(0)=φ(c)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)[*](0，1)，使得φ’(ξ)=0， 而φ’(x)=2xf’(x)+x2f’’(x)，于是2ξf’(ξ)+ξ2f’’(ξ)-0， 再由ξ≠0得ξf’’(ξ)+2f’(ξ)=0．
解析
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考研数学三

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