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  3. 设矩阵B＝，已知矩阵A相似于B，则秩r(A－E)＋r(A－3E)＝

设矩阵B＝，已知矩阵A相似于B，则秩r(A－E)＋r(A－3E)＝

admin2021-10-08  33
问题 设矩阵B＝，已知矩阵A相似于B，则秩r(A－E)＋r(A－3E)＝
选项 A、4．
B、5．
C、6．
D、7．
答案C
解析 由矩阵B的特征多项式
    ｜λE－B｜＝＝λ(λ＋2)(λ－3)2，
    可得B的特征值为λ1＝0，λ2＝－2，λ3＝λ4＝3．因为A－B，所以矩阵A与矩阵B有相同的特征值．
    又困为B是实对称矩阵，故B可相似于对角矩阵．从而，矩阵A也可相似于对角矩阵．所以，矩阵A属于2重特征值λ3＝λ4＝3，必有2个线性无关的特征向量．
    由此可知，r(3E－A)＝n－2＝4－2＝2，即r(A－3E)＝2．
    又因为λ＝1不是矩阵A的特征值，故知｜E－A｜≠0．所以，r(E－A)＝4，即r(A－E)＝4．
    因此r(A－E)＋r(A－3E)＝2＋4＝6．故应选C．
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考研数学一

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