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设f(χ)在(a，b)二阶可导，χ1，χ2∈(a，b)，χ1≠χ2，t∈(0，1)，则 (Ⅰ)若f〞(χ)＞0(χ∈(a，b))，有 f[tχ1＋(1－t2)χ2]＜tf(χ1)＋(1－t)f(χ2)， (4．6) 特别有
设f(χ)在(a，b)二阶可导，χ1，χ2∈(a，b)，χ1≠χ2，t∈(0，1)，则 (Ⅰ)若f〞(χ)＞0(χ∈(a，b))，有 f[tχ1＋(1－t2)χ2]＜tf(χ1)＋(1－t)f(χ2)， (4．6) 特别有
admin
2016-10-21
79
问题
设f(χ)在(a，b)二阶可导，
χ
1
，χ
2
∈(a，b)，χ
1
≠χ
2
，
t∈(0，1)，则
(Ⅰ)若f〞(χ)＞0(
χ∈(a，b))，有
f[tχ
1
＋(1－t
2
)χ
2
]＜tf(χ
1
)＋(1－t)f(χ
2
)， (4．6)
特别有
(Ⅱ)若f〞(χ)＜0(
χ∈(a，b))，有
f[tχ
1
＋(1－t)χ
2
]＞tf(χ
1
)＋(1－t)f(χ
2
)， (4．7)
特别有
选项
答案
(Ⅰ)与(Ⅱ)的证法类似，下面只证(Ⅰ)．因f〞(χ)＞0(χ∈(a，b))[*]f(χ)在(a，b)为凹的[*](4．5)相应的式子成立．注意tχ
1
＋(1－t)χ
2
∈(a，b)[*] f(χ
1
)＞[tχ
1
＋(1－t)χ
2
]＋f′[tχ
1
＋(1－t)χ
2
][χ－(tχ
1
＋(1－t)χ
2
)] ＝f[tχ
1
＋(1－t)χ
2
]＋f′[tχ
1
＋(1－t)χ
2
](1－t)(χ
1
－χ
2
)， f(χ
2
)＞f[tχ
1
＋(1－t)χ
2
]＋f′[tχ
1
＋(1－t)χ
2
][χ
2
－(tχ
1
＋(1－t)χ
2
)] ＝f[tχ
1
＋(1－t)χ
2
]－f′[tχ
1
＋(1－t)χ
2
]t(χ
1
－χ
2
)， 两式分别乘t与(1－t)后相加得 tf(χ
1
)＋(1－t)f(χ
2
)＞f[tχ
1
＋(1－t)χ
2
]．
解析
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[*]
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