设f(x)为偶函数，且满足f’(x)+2f(x)－3∫0xf(t－x)dt=－3x+2，求f(x)．

admin2018-05-25 57

问题设f(x)为偶函数，且满足f’(x)+2f(x)－3∫₀^xf(t－x)dt=－3x+2，求f(x)．

选项

答案∫₀^xf(t－x)dt=－∫₀^x(t－x)d(x－t)=－∫_x⁰f(－u)du=∫₀^xf(u)du，则有f’(x)+2f(x)－3∫₀^xf(u)du=－3x+2，因为f(x)为偶函数，所以f’(x)是奇函数，于是f’(0)=0，代入上式得f(0)=1．将f’(x)+2f(x)－3∫₀^xf(u)du=－3x+2两边对x求导数得f’’(x)+2f’(x)－3f(x)=－3，其通解为f(c)=C₁e^x+C₂e^－3x+1，将初始条件代入得f(x)=1．

解析

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