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设函数f(χ)在区间[0,a]上单调增加并有连续的导数,且f(0)=0,f(a)=b,求证:∫0af(χ)dχ+∫0bg(χ)dχ=ab,其中g(χ)是f(χ)的反函数.
设函数f(χ)在区间[0,a]上单调增加并有连续的导数,且f(0)=0,f(a)=b,求证:∫0af(χ)dχ+∫0bg(χ)dχ=ab,其中g(χ)是f(χ)的反函数.
admin
2020-03-16
98
问题
设函数f(χ)在区间[0,a]上单调增加并有连续的导数,且f(0)=0,f(a)=b,求证:∫
0
a
f(χ)dχ+∫
0
b
g(χ)dχ=ab,其中g(χ)是f(χ)的反函数.
选项
答案
令F(a)=∫
0
a
f(χ)dχ+∫
0
f(a)
g(χ)dχ-af(a),对a求导得 F′(a)=f(a)+g[f(a)]f′(a)-af′(a)-f(a), 由题设g(χ)是f(χ)的反函数知g[f(a)]=a,故F′(a)=0,从而F(a)为常数.又F(0)=0,故F(a)=0,即原等式成立.
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/8I84777K
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考研数学二
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