2. 考研
  3. 设有两个线性方程组： 其中向量b=(b1，b2，…，bm)T≠0．证明：方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件，是(Ⅱ)的每一解y=(y1，y2，…，ym)T都满足方程b1y1+b2y2+…+bmym=0．

设有两个线性方程组： 其中向量b=(b1，b2，…，bm)T≠0．证明：方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件，是(Ⅱ)的每一解y=(y1，y2，…，ym)T都满足方程b1y1+b2y2+…+bmym=0．

admin2018-08-03  66
问题 设有两个线性方程组：

其中向量b=(b1，b2，…，bm)T≠0．证明：方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件，是(Ⅱ)的每一解y=(y1，y2，…，ym)T都满足方程b1y1+b2y2+…+bmym=0．
选项
答案记A=(aij)m×n，x=(x1，x2，…，xn)T，y=(y1，y2，…，yn)T，则方程组(Ⅰ)的矩阵形式为Ax=b，方程组(Ⅱ)的矩阵形式为ATy=0，方程[*]biyi=0的矩阵形式为bTy=0．必要性：设方程组(Ⅰ)有解x，y为(Ⅱ)的任一解，则bTy=(Ax)Ty=xT(ATy)=xTO=0，故(Ⅱ)的任一解y都满足方程bTy=0．充分性：在充分性条件下，两个齐次线性方程组[*]=0与ATy=0同解，故其系数矩阵的秩相同，从而系数矩阵的转置矩阵的秩也相同，即r(A)=r(A┊b)．由有解判定定理知方程组(Ⅰ)有解．
解析
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考研数学一

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