2. 考研
  3. （Ⅰ）比较 ∫01ln t| [ln（1+t）n]dt与∫01tn|Int|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由。 （Ⅱ）记un=∫01|ln t|[ln（1+t）]ndt（n=1，2，…），求极限

（Ⅰ）比较 ∫01ln t| [ln（1+t）n]dt与∫01tn|Int|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由。 （Ⅱ）记un=∫01|ln t|[ln（1+t）]ndt（n=1，2，…），求极限

admin2017-01-21  91
问题 （Ⅰ）比较 ∫01ln t| [ln（1+t）n]dt与∫01tn|Int|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由。
（Ⅱ）记un=∫01|ln t|[ln（1+t）]ndt（n=1，2，…），求极限
选项
答案（Ⅰ）令f（t）=In（1+t）—t。 当0≤t≤1时，f’（t）=[*]一1≤0，故当0≤t≤1时，f（t）≤f（0）=0，即当0≤t≤1时， [ln（2+t）]n≤ tn（n=1，2，…）。 又由 llnt I≥ 0得 ∫0xf|lnt|[ln（1+t）]ndt≤∫01tn|lnt|dt（n=1，2，…）。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，0≤un=∫1x |lnt|[ln（1+t）]ndt≤ ∫0xtn|lnt|dt，因为 ∫01 lnt| dt=一∫0xtn（lnt）dt [*]
解析
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考研数学三

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