设f(x)为连续的偶函数，F(x)为f(x)的原函数，且∫－11F(x)dx=0，求F(x)．

admin2017-05-31 81

问题设f(x)为连续的偶函数，F(x)为f(x)的原函数，且∫_－1¹F(x)dx=0，求F(x)．

选项

答案由f(x)为连续的偶函数可知，∫₀^xf(t)dt=为奇函数，且F(x)=∫₀^xf(t)dt+c₀ 又 ∫_－1¹F(x)dx=∫_－1¹[∫₀^xf(t)dt+c₀]dx=2c₀=0，所以，F(x)=∫₀^xf(t)dt．

解析若f(x)连续，则由
F(一x)=∫₀^－xf(t)dt

∫₀^uf(一u)du
可知，f(x)为连续的奇(偶)函数<=>F(x)为偶(奇)函数．
  对f(x)的任一原函数有：
  (1)f(x)为连续的奇函数<=>∫_a^xf(t)dt为偶函数．
  (2)f(x)为连续的偶函数时，∫_a^xf(t)dt是奇函数<=>∫_－a^af(x)dx=0．

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