设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)= 一1，f(0)=1，证明：f(x)=ex或f(x)=e一x。

admin2018-08-06 53

问题设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是

的一个原函数且F(x)G(x)= 一1，f(0)=1，证明：f(x)=e^x或f(x)=e^一x。

选项

答案证：(1)F(x).G(x)=一1， F′(x)G(x)+F(x)G′(x)=0 [*]f(x)G(x)+F(x)[*]=0。 [*]f(x)[*]+F(x)[*]=0。 [*]F²(x)=f²(x)。 (2)讨论，(i)若F(x)=f(x)，即 f(x)=f′(x)，[*]=1 lnf(x)=x+C₁，f(x)=Ce^x 由f(0)=1，得C=1 故有f(x)=e^x (ii)若F(x)= 一f(x)，即f(x)=一f′(x) [*]lnf(x)=一x+C₂，f(x)=Ce^—x 由f(0)=1，得C=1。故有f(x)=e^—x证毕。

解析

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