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  3. 设x≥0，n为正整数，证明：f(x)=(t一t2)sin2ntdt的最大值不超过

设x≥0，n为正整数，证明：f(x)=(t一t2)sin2ntdt的最大值不超过

admin2016-03-02  57
问题 设x≥0，n为正整数，证明：f(x)=(t一t2)sin2ntdt的最大值不超过
选项
答案∵f(x)=[*](t—t2)sin2ntdt，x∈[0，+∞)，n∈N＋ ∴f′(x)=(x－x2)sin2nx=－x(x－1)sin2nx， 令f′(x)=0，得驻点为x=0，x=1，x=kπ(k∈Z且k≠0) 当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＜0或x＞1时，f′(x)＞0， ∴f(x)在x=0处取得极小值，在x=1处取得极大值，在x=kπ(k∈z且k≠0)不取极值，且极大值f(1)是最大值． 又∵f(1)=[*](t一t2)sin2ntdt≤[*](t一t2)t2ndt 而[*] ∴f(1)≤[*]，即f(x)=[*](t一t2)sin2ntdt的最大值不超过[*]
解析
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