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试证：当x＞0时，有不等式x＞sinx＞x一．

admin2017-03-30  51
问题 试证：当x＞0时，有不等式x＞sinx＞x一．
选项
答案先证x＞sinx(x＞0)． 设f(x)=x—sinx，则f′(x)=1一cosx≥0(x＞0)， 所以f(x)为单调递增函数，于是对x＞0有f(x)＞f(0)=0， 即x—sinx＞0，亦即x＞sinx(x＞0)． 再证sinx＞x－[*](x＞0)． 令g(x)=sinx—x+[*]， 则 g′(x)=cosx－1+x， g″(x)=－sinx+1≥0， 所以g′(x)单调递增，又g′(0)=0，可知g′(x)＞g′(0)=0(x＞0)，那么有g(x)单调递增． 又g(0)=0，可知g(x)＞g(0)=0(x＞0)， 所以 sinx—x+[*]＞0， 即 sinx＞x－[*](x＞0)． 综上可得：当x＞0时，x＞sinx＞x－[*]
解析 可将不等式分成两部分来证，即：x＞sinx，sinx＞x一730，分别设f(x)=x—sinx和g(x)=sinx—x+731，然后再分别求导数，利用单调性思想即可证出．
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