2. 考研
  3. 设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式 [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy 为某二元函数u(x，y)的全微分． (Ⅰ)求f(x)； (Ⅱ)求u(x，y)的一般表达式．

设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式 [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy 为某二元函数u(x，y)的全微分． (Ⅰ)求f(x)； (Ⅱ)求u(x，y)的一般表达式．

admin2021-10-02  139
问题 设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式
    [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy
    为某二元函数u(x，y)的全微分．
    (Ⅰ)求f(x)；
    (Ⅱ)求u(x，y)的一般表达式．
选项
答案(Ⅰ)由题意知， du=[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy， 即 [*]=f(x)+x2y． 由于f(x)具有一阶连续导数，所以u的二阶混合偏导数连续，所以有 [*] 即有x(1+2y)一f(x)=f’(x)+2xy， f(x)+f(x)=x． 连同已知f(0)=0，可求得f(x)=x一1+e—x． (Ⅱ)由(Ⅰ)知du=(xy2+y—ye—x)dx+(x一1+e—x+x2y)dy． 求u(x，y)有多种方法． 凑微分法． du=(xy2+y—ye—x)dx+(x—1+e—x+x2y)dy =xy(ydx+xdy)+(ydx+xdy)+(一ye—xdx+e—xdy)一dy =d[[*](xy)2+xy+ye—x一y]， 所以u(x，y)=[*](xy)2+xy+y—x—y+C(C为任意常数)．
解析
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考研数学三

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