设A为n阶方阵(n≥3)，秩r(A)=r，求A的伴随矩阵A*的秩．

admin2021-10-13 54

问题设A为n阶方阵(n≥3)，秩r(A)=r，求A的伴随矩阵A^*的秩．

选项

答案当r(A)=n时，A可逆，则A^*也可逆，因此r(A^*)=n；当r(A)=n一1时，｜A｜=0，因此AA^*=｜A｜．E=0，即A^*的n个列向量均为齐次线性方程组Ax=0的解向量，由于r(A)=n一1，AX=0的基础解系仅含一个解向量，所以A^*的列向量的秩≤1；又r(A)=n一1，A中存在一个不为0的n—1阶子式，故A^*的n个列向量中至少有一个不为零向量，所以A^*的列向量的秩≥1，由以上讨论可知，r(A^*)=1．当r(A)＜n-1时，A的每一个n一1阶子式均为零，即A^*是零矩阵，所以r(A^*)=0．所以 [*]

解析

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