设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，记（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ ββT；（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

admin2017-01-21 70

问题设二次型f（x₁，x₂，x₃）=2（a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃）²+（b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃）²，
记

（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2αα^T+ ββ^T；
（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

选项

答案（Ⅰ）f（x₁，x₂，x₃）=2（a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃）²+（b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃）² [*] 所以二次型f对应的矩阵为2αα^T+ ββ^T。（Ⅱ）设A=2αα^T+ ββ^T，由于|α|=1，α^Tβ=β^Tα=0，则 Aα=（2αα^T+ββ^T）α=2α|α| ²+ββ^Tα=2α，所以α为矩阵对应特征值λ₁=2的特征向量； Ap=（2αα^T+ββ^T）β=2αα^Tβ+β|β| ²=β，所以β为矩阵对应特征值λ₂=1的特征向量。而矩阵A的秩 r（A）=r（2αα^T+ ββ^T）≤r（2αα^T）+ r（ββ^T）=2，所以λ₃=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

解析

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考研数学三

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设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，记（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ ββT；（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

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已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得Ak＝0，试证明矩阵E－A可逆，并求出逆矩阵的表达式(E为n阶单位矩阵)．

设f(x)在[0，1]上连续，且0≤f(x)≤1，试证在[0，1]内至少存在一个ξ，使f(ξ)=ξ．

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已知函数f(x)在区间(1-δ，1+δ)内具有二阶导数，f’(x)单调减少；且f(1)=f’(1)=1，则

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设函数f(x)任点x=a处可导，则函数丨f(x)丨在点x=a处不可导的允分条件是

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请简述我国刑法的基本原则。

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