设D1是由曲线y=和直线y=a及x=0所围成的平面区域；D2是由曲线y=和直线y=a及x=1所围成的平面区域，其中0＜a＜1． (Ⅰ)试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V1；D2绕y轴旋转而成的旋转体体积V2(如图3．8)； (Ⅱ)问当a为

admin2017-10-23 105

问题设D₁是由曲线y=

和直线y=a及x=0所围成的平面区域；D₂是由曲线y=

和直线y=a及x=1所围成的平面区域，其中0＜a＜1．
(Ⅰ)试求D₁绕x轴旋转而成的旋转体体积V₁；D₂绕y轴旋转而成的旋转体体积V₂(如图3．8)；
(Ⅱ)问当a为何值时，V₁+V₂取得最小值?试求此最小值．

选项

答案(Ⅰ)D₁与D₂可分别表示为 [*] 在D₁中对应横坐标为x→x+dx的小窄条绕x轴旋转一周形成一个圆环形薄片，其内半径为a，外半径为[*]，厚度为dx，故其体积为dV=π(1一x²—a²)dx，从而 [*] 在D₂中对应横坐标为x→x+dx的小窄条绕y轴旋转一周形成一个薄壁圆筒，其半径为x，高度为a一[*]，从而 [*]

解析

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考研数学三

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设D1是由曲线y=和直线y=a及x=0所围成的平面区域；D2是由曲线y=和直线y=a及x=1所围成的平面区域，其中0＜a＜1． (Ⅰ)试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V1；D2绕y轴旋转而成的旋转体体积V2(如图3．8)； (Ⅱ)问当a为

考研数学三

设，求a，b，c，d．

确定常数a，b，c的值，使得当x→0时，ex(1+bx+cx2)=1+ax+o(x3)．

一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数k＞0，设融化过程中形状不变，设半径为r0的雪堆融化3小时后体积为原来的，求全部融化需要的时间．

把二重积分写成极坐标下的累次积分的形式(先r后θ)，其中D由直线x+y=1，x=1，y=1围成．

求级数的收敛域与和函数．

求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x—y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值．

设A为n阶矩阵且r(A)=n一1．证明：存在常数k，使得(A)2=hA．

计算二重积分，其中D是第一象限中由直线y=x和曲线y=x3所围成的封闭区域．

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某邻域内满足关系式：f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．

设，x∈(0，1]，定义A(x)=∫0xf(t)dt，令试证：

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测试记录包括、(64)。①测试计划或包含测试用例的测试规格说明。②测试期间出现问题的评估与分析。③与测试用例相关的所有结果，包括在测试期间出现的所有失败。④测试中涉及的人员身份。

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