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  3. 证明：若函数f(x)在[a，b]上可导，且f＇+(a)≠f＇－(b)，k为介于f＇+(a)，f＇－(b)之间的任意实数，则至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f＇(ξ)=k。

证明：若函数f(x)在[a，b]上可导，且f＇+(a)≠f＇－(b)，k为介于f＇+(a)，f＇－(b)之间的任意实数，则至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f＇(ξ)=k。

admin2019-12-12  7
问题 证明：若函数f(x)在[a，b]上可导，且f＇+(a)≠f＇－(b)，k为介于f＇+(a)，f＇－(b)之间的任意实数，则至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f＇(ξ)=k。
选项
答案假设F(x)=f(x)－kx，则F(x)在[a，b]上可导，且F＇+(a)·F＇-(b)=(f＇+(a)一k)(f＇-(b)－k)＜0。不妨设F＇+(a)＞0，F＇-(b)＜0，由极限的保号性知，当F＇+(a)＞0时，[*]δ＞0，对[*]x∈(a，a+δ)有F(a)＜F(x)(F＇-(b)＜0同理)，所以分别存在x1∈[*](a)，x2∈[*](b)且x1＜x2，使得F(x1)＞F(a)，F(x2)＞F(b)①。 因为F(x)在[a，b]上可导，所以连续。根据最大最小值定理知，存在一点ξ∈[a,b]使得F(x)在点ξ处取得最大值，结合①式知，ξ≠a，b，即ξ为F(x)的极大值点。进而，由费马定理知，F＇(ξ)=0，即f＇(ξ)=k，结论得证。
解析
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