2. 公务员
  3. 如图，F是椭圆的一个焦点，A、B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为，点C在x轴上，BC⊥BF，B、C、F三点确定的圆M恰好与直线相切． 求证：对于任意的t＞-2，总存在x0∈(-2，t)，满足，并确定这样的x0的个数．

如图，F是椭圆的一个焦点，A、B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为，点C在x轴上，BC⊥BF，B、C、F三点确定的圆M恰好与直线相切． 求证：对于任意的t＞-2，总存在x0∈(-2，t)，满足，并确定这样的x0的个数．

admin2011-07-17  56
问题 如图，F是椭圆的一个焦点，A、B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为，点C在x轴上，BC⊥BF，B、C、F三点确定的圆M恰好与直线相切．

求证：对于任意的t＞-2，总存在x0∈(-2，t)，满足，并确定这样的x0的个数．
选项
答案[证明] 因为[*]，所以[*] 即为[*]令[*]， 从而问题转化为证明方程[*]89在(-2，t)上有解，并讨论解的个数． 因为[*](t-1)，所以①当t＞4或-2＜t＜1时，g(-2).g(t)＜0， 所以g(x)=0在(-2，t)上有解，且只有一解． ②当1＜t＜4时，g(-2)＞0，g(t)＞0，但由于[*]，所以g(x)=0在(-2，t)上有解，且有两解． ③当t=1时，g(x)=x2-x=0[*]x=0或x=1， 所以g(x)=0在(-2，t)上有且只有一解； 当t=4时，g(x)=x2-x=0[*]x=-2或x=3， 所以g(x)=0在(-2，4)上也有且只有一解． 综上所述，对于任意的t＞-2，总存在x0∈(-2，t)， 满足[*]且当t≥4或-2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意； 当1＜t＜4时，有两个x0适合题意． (说明：第(3)题也可以令φ(x)=x2-x，x∈(-2，t)，然后分情况证明[*]在其值域内，并讨论直线[*]与函数φ(x)的图像的交点个数即可得到相应的x0的个数)
解析
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