2. 考研
  3. 设f(x)在[a，+∞)上可导，且当x＞a时，f’(x)＜k＜0(忌为常数)．证明：如果f(a)＞0，则方程f(x)=0在区间上有且仅有一个实根．

设f(x)在[a，+∞)上可导，且当x＞a时，f’(x)＜k＜0(忌为常数)．证明：如果f(a)＞0，则方程f(x)=0在区间上有且仅有一个实根．

admin2017-10-25  111
问题 设f(x)在[a，+∞)上可导，且当x＞a时，f’(x)＜k＜0(忌为常数)．证明：如果f(a)＞0，则方程f(x)=0在区间上有且仅有一个实根．
选项
答案先证根的存在性．由题设知，f(x)在[*]上满足拉格朗日中值定理条件，故有 [*] 即[*](因为f(a)＞0，f’(ξ)＜k＜0)， 又f(a)＞0，由零点定理知，方程f(x)=0在[*]内有实根． 再由f’(x)＜0(x＞a)且f(x)在x≥a处连续知，f(x)在[*]上单调减少，故方程f(x)=0在[*]上最多有一个根． 综上所述，命题得证．
解析 先利用拉格朗日中值定理及零点定理证明根的存在性；再利用函数的单调性证明根的唯一性．
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考研数学一

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