设对χ＞0的空间区域内任意的光滑有向封闭曲面∑都有 χf(χ)dydχ－χyf(χ)dzdχ－ze2χdχdy＝0，其中函数f(χ)在(0，＋∞)内具有连续一阶导数，且Rf(χ)＝1，求F(χ)。

admin2017-11-30 106

问题设对χ＞0的空间区域内任意的光滑有向封闭曲面∑都有

χf(χ)dydχ－χyf(χ)dzdχ－ze^2χdχdy＝0，
其中函数f(χ)在(0，＋∞)内具有连续一阶导数，且

Rf(χ)＝1，求F(χ)。

选项

答案根据已知条件，结合高斯公式，有 0＝[*]χf(χ)dydz－χyf(χ)dzdχ－ze^2χdχdy，＝±[*](χf′(χ)＋f(χ)－χf(χ)－^2χ)dV，其中Ω是由∑围成的有界封闭区域，由∑的任意性可知 χf′(χ)＋f(χ)－χf(χ)－e^2χ＝0(χ＞0)，即f′(χ)＋[*]e^2χ(χ＞0)。 [*] 所以[*](e^2χ＋Ce^χ)＝0，即C＋1＝0，C＝－1。故f(χ)＝[*]，χ＞0。

解析

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