设A=， (1)证明当n＞1时An=An－2+A2－E． (2)求An．

admin2017-06-08 53

问题设A=

，
(1)证明当n＞1时Aⁿ=A^n－2+A²－E．
(2)求Aⁿ．

选项

答案(1)Aⁿ=A^n－2+A²－E即 Aⁿ－A^n－2=A²－E． A^n－2(A²－E)=A²－E．只要证明A(A²－E)=A²－E．此式可以直接检验： [*] (2)把Aⁿ=A^n－2+A²－E作为递推公式求Aⁿ． n是偶数2k时：A^2k=A^2k－2+A²－E=A^2k－4+2(A²－E)：……=k(A²－E)+E． n是奇数2k+1时：A^2k+1=AA^2k=A[k(A²－E)+E]=k(A²－E)+A．

解析

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考研数学二

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设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=0，已知A的秩r(A)=2．当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．
设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=0，已知A的秩r(A)=2．求A的全部特征值；
设三阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是α1=(-1，-1，1)T，α2=(1，-2，-1)T．求A的属于特征值3的特征向量．
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．

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