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  3. [2004] 设f(x)为连续函数，F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx，则F′(2)等于( )．

[2004] 设f(x)为连续函数，F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx，则F′(2)等于( )．

admin2019-04-05  98
问题 [2004]  设f(x)为连续函数，F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx，则F′(2)等于(    )．
选项 A、2f(2)
B、f(2)
C、一f(2)
D、0
答案B
解析  调换积分次序，消除被积函数(内层积分)中的求导变量t，再求导．
解一  由于二次积分的内层积分与求导变量t有关，不能直接对其求导．应先交换积分次序，然后再求导．如图1．3．3．1所示，由原二次积分易求得其积分区域为

D={(x，y)∣1≤y≤x，y≤x≤t)
  ={(x，y)∣1≤x≤t，1≤y≤x}．
交换积分次序，得到
F (t)=∫1tdy∫ytf(x)dx=∫1tdx∫1xf(x)dy=∫1tf(x)dx∫1xdy
=∫1t(x一1)f(x)dx，
因而F′(t)=f(t)(t一1)，于是F′(2)=f(2)．仅(B)入选．
    解二  特别地，f(x)取具体函数f(x)=l满足题设的条件，则
F(t)=∫1tdy∫ytldx=∫1t(t－y)dy=一(t－y)2∣1t=(1－t)2．
因而F′(t)=t－1，于是F′(2)=2—1=1=f(2)．仅(B)入选．
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考研数学二

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