计算二重积分[cosx2siny2+sin(x+y)]dσ，其中D={(x，y)|x2+y2≤a2，常数a＞0}．

admin2019-07-28 100

问题计算二重积分

[cosx²siny²+sin(x+y)]dσ，其中D={(x，y)|x²+y²≤a²，常数a＞0}．

选项

答案[*][cosx²siny²+sin(x+y)]dσ=[*]cosx²siny²dσ+[*]sin(x+y)dσ，将D中的x与y交换，D不变(D关于直线y=x对称)，所以 [*] 中，将被积函数中的x与y交换，该积分的值亦不变．于是有 I₁=[*]cosx²siny²dσ=[*]cosy²sinx²dσ，从而 2I₁=[*](cosx²siny²+cosy²sinx²)dσ=[*]sin(x²+y²)dσ I₁=[*]sin(x²+y²)dσ=[*]sinr².rdrdθ=[*]rsinr²dr [*] 由于sinx是x的奇函数，siny是y的奇函数，且D既对称于y轴，又对称于x轴，所以 [*]

解析

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