已知二次型f（x1，x2，x3）=（1一a）x12+（1—a）x22+2x32+2（1+a）x1x2的秩为2。（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x1，x2，x3）化为标准形；（Ⅲ）求方程f（x1，x2，x3）=0的解。

admin2017-12-29 60

问题已知二次型f（x₁，x₂，x₃）=（1一a）x₁²+（1—a）x₂²+2x₃²+2（1+a）x₁x₂的秩为2。
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x₁，x₂，x₃）化为标准形；
（Ⅲ）求方程f（x₁，x₂，x₃）=0的解。

选项

答案（Ⅰ）二次型矩阵 [*] 二次型的秩为2，则二次型矩阵A的秩也为2，从而 [*] 因此a=0。（Ⅱ）由（Ⅰ）中结论a=0，则 [*] 由特征多项式 [*] =（λ一2）[（λ一1）²—1]=λ（λ一2）² 得矩阵A的特征值λ₁=λ₂=2，λ₃=0。当λ=2，由（2E—A）x=0得特征向量α₁=（1，1，0）^T，α₂=（0，0，1）^T。当λ=0，由（0E—A）x=0得特征向量α₃=（1，一1，0）^T。容易看出α₁，α₂，α₃已两两正交，故只需将它们单位化： γ₁=[*]（1，1，0）^T，γ₂=（0，0，1）^T，γ₃=[*]（1，一1，0）^T。那么令Q=（γ₁，γ₂，γ₃）=[*] 则在正交变换x=Qy下，二次型f（x₁，x₂，x₃）化为标准形f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx=y^TΛy=2y₁²+2y₂²。（Ⅲ）由f（x₁，x₂，x₃）=x₁²+x₂²+2x₃²+2x₁x₂=（x₁+x₂）²+2x₃²=0，得[*] 所以方程f（x₁，x₂，x₃）=0的通解为k（1，一1，0）^T，其中k为任意常数。

解析

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考研数学三

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已知二次型f（x1，x2，x3）=（1一a）x12+（1—a）x22+2x32+2（1+a）x1x2的秩为2。（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x1，x2，x3）化为标准形；（Ⅲ）求方程f（x1，x2，x3）=0的解。

考研数学三

设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且Ф(x)=φ(x)，Ф(0)=0．求方程y’+ysinx=φ(x)ecosx的通解；

设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续且单调增，证明：∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)∫abf(x)g(x)dx．

证明：∫01dx∫01(xy)xydy=∫01xxdx．

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某邻域内满足关系式：f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．

曲线的斜渐近线方程为________．

证明：方阵A是正交矩阵的充分必要条件是|A|=±1，且若|A|=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式；若|A|=-1，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘-1．

求下列极限．

求下列极限．

设二维随机变量(X，Y)服从区域G上的均匀分布，其中G是由x—y=0，x+y=2与y=0所围成的三角形区域。求X的概率密度fX(x)；

下列关于要约的说法中，正确的是()

Nearlyallbehaviorproblemsareperfectlynormaldogactivitiesthatoccuratthewrongtimeorplaceoraredirectedatthewr

A．青霉素400万单位静脉滴注，Q6hB．青霉素1000万～2000万单位静脉滴注，加庆大霉素C．两性霉素B静脉滴注D．人工瓣膜置换术E．万古霉素静脉滴注

男婴，胎龄266天，自然分娩，Apgar评分1分钟和5分钟为10分，体检时，下列哪项反射阴性是正常的

在一定条件下，杠杆、齿轮变速器、运算器放大器等可以看做是()。

(2017年真题)《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020年)》提出，推进义务教育均衡发展，切实缩小校际差距，着力解决择校问题。下列选项中，不正确的是()。

在动态化环境下，大力推广对吸毒人员网格化管理是公安管控工作的新举措。了解吸毒人员户籍来源及现状对管控工作有较大帮助。根据某市吸毒人员统计图，选项正确的有：

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设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续且单调增，证明：∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)∫abf(x)g(x)dx．

证明：∫01dx∫01(xy)xydy=∫01xxdx．

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某邻域内满足关系式：f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．

曲线的斜渐近线方程为________．

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A．青霉素400万单位静脉滴注，Q6hB．青霉素1000万～2000万单位静脉滴注，加庆大霉素C．两性霉素B静脉滴注D．人工瓣膜置换术E．万古霉素静脉滴注

男婴，胎龄266天，自然分娩，Apgar评分1分钟和5分钟为10分，体检时，下列哪项反射阴性是正常的

在一定条件下，杠杆、齿轮变速器、运算器放大器等可以看做是()。

(2017年真题)《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020年)》提出，推进义务教育均衡发展，切实缩小校际差距，着力解决择校问题。下列选项中，不正确的是()。

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