设Aij为A中aij(i，j=1，2，3)的代数余子式，二次型的矩阵为B. 求正交变换x=Qy将二次型f(x1，x2，x3)化为标准形；

admin2022-05-20 108

问题设

A_ij为A中a_ij(i，j=1，2，3)的代数余子式，二次型

的矩阵为B.
求正交变换x=Qy将二次型f(x₁，x₂，x₃)化为标准形；

选项

答案由|λE-A^-1|=0，可解得A^-1的特征值为 λ₁=1，λ₂=1/2，λ₃=1/3．由(E-A^-1)x=0，解得α₁=(0，-1，1)^T．由(1/2E-A^-1)x=0，解得α₂=(1，0，0)^T．由(1/3E-A^-1)x=0，解得α₃=(0，1，1)^T．由于A^-1有3个不同的特征值，所以其对应的特征向量α₁，α₂，α₃已正交，故只需单位化，得 γ₁=1/[*]·(0，-1，1)^T，γ₂=(1，0，0)^T，γ₃=1/[*]·(0，1，1)^T．令Q=(γ₁，γ₂，γ₃)，则所求正交变换为x=Qy，标准形为y₁²+1/2y₂²+1/3y₃²．

解析

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考研数学三

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