设A为m×n阶实矩阵，且r(A)＝n．证明：ATA的特征值全大于零．

admin2019-11-25 49

问题设A为m×n阶实矩阵，且r(A)＝n．证明：A^TA的特征值全大于零．

选项

答案首先A^TA为实对称矩阵，r(A^TA)＝n，对任意的X＞0， X^T(A^TA)X＝(AX)^T(AX)，令AX＝a，因为r(A)＝n，所以a≠0，所以 (AX)^T(AX)＝a^Ta＝｜｜a｜｜²＞0，即二次型X^T(A^TA)X是正定二次型，A^TA为正定矩阵，所以A^TA的特征值全大于零．

解析

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考研数学三

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