齐次线性方程组的系数矩阵记为A．若存在3阶矩阵B≠O，使得AB＝O，则( )

admin2017-03-08 74

问题齐次线性方程组

的系数矩阵记为A．若存在3阶矩阵B≠O，使得AB＝O，则( )

选项 A、λ＝－2且｜B｜＝0．
B、λ＝－2且｜B｜≠0．
C、λ＝1且｜B｜＝0．
D、λ＝1且｜B｜≠0．

答案C

解析将矩阵B按列分块，则由题设条件有
AB＝A[β₁，β₂，β₃]＝[Aβ₁，Aβ₂，Aβ₃]＝O
即AB_i＝0(i＝1，2，3)，这说明矩阵B的列向量都是齐次线性方程组Aχ＝0的解．又由B≠O，知齐次线性方程组Aχ＝0存在非零解，从而r(A)＜3，且A为3阶方阵，故有

即λ＝1，排除选项A、B．
若｜B｜≠0，则矩阵B可逆．以B^-1右乘AB＝O，得
ABB^-1＝OB^-1，即A＝O．
这与A为非零矩阵矛盾，选项D不正确．故选C．

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