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  3. 设矩阵A=的特征值有重根，试求正交矩阵Q，使QTAQ为对角形．

设矩阵A=的特征值有重根，试求正交矩阵Q，使QTAQ为对角形．

admin2016-10-26  41
问题 设矩阵A=的特征值有重根，试求正交矩阵Q，使QTAQ为对角形．
选项
答案A的特征多项式 [*] =(λ一2)[λ2+(3—a)λ一(3a+20)]， 由于判别式(3一a)2+4(3a+20)=0没有实数根，即λ2+(3一a)λ一(3a+20)≠(λ一k)2，所以只能λ=2是重根．于是λ2+(3一a)λ一(3a+20)必有λ一2的因式，因此由 22+2(3—a)一(3a+20)=0，得a=－2． 从而得到矩阵A的特征值是λ1=λ1=2，λ3=－7． 对于λ=2，由(2E—A)x=0，即[*] 得到线性无关的特征向量α1=(一2，1，0)T，α2=(2，0，1)T．用Schmidt正交化方法，先正交化，有 [*] 再将β1，β2单位化，得 [*] 对于λ=－7，由(一7E—A)x=0，即[*] 得特征向量α3=(1，2，一2)T，单位化为γ3=[*](1，2，－2)T． 那么，令Q=(γ1，γ2，γ3)=[*]，即有 QTAQ=QAQ=[*]
解析 因为Q是正交矩阵，有QT=Q－1，故QTAQ=A，即Q－1AQ=A．为此，应当求矩阵A的特征向量．
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