(1999年)试证：当x>0时，(x2一1)lnx≥(x—1)2．

admin2018-06-30 127

问题 (1999年)试证：当x>0时，(x²一1)lnx≥(x—1)²．

选项

答案证l 令φ(x)=(x²一1)lnx一(x—1)²，易知φ(1)=0， [*] φ’(1)=0 [*] 则φ(x)在x=1取得极小值．又x=1是φ(x)在(0，+∞)唯一的极值点，则φ(x)在x=1取得在区间(0，+∞)上的最小值．又φ(1)=0，则当x＞0时，φ(x)≥0，即 (x²一1)lnx≥(x—1)² 证2 令[*] 则 [*] φ(1)=0，所以当0＜x＜1时，φ(x)＜0，当1＜x＜+∞时，φ(x)＞0，于是x＞0时，(x²—1)φ(x)=(x²一1)lnx一(x²一1)≥0，即 (x²一1)Inx≥(x一1)² 证3 由拉格朗日中值定理知[*]其中ξ介于1与x之间，即1＜ξ＜x或x＜ξ＜1，所以总有0＜ξ＜1+x从而[*]于是当x＞0时 [*]

解析

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