求一个正交变换化下列二次型成标准形： f=2x12+322+3x22+4x2x3．

admin2020-11-13 68

问题求一个正交变换化下列二次型成标准形：
f=2x₁²+3₂²+3x₂²+4x₂x₃．

选项

答案f的矩阵A=[*]，｜λE-A｜=[*]=(λ一2)(λ一5)(λ一1)，解得A的特征值为λ₁=2，λ₂=5，λ₃=1． ①当λ₁=2时，解方程组(2E—A)x=0，得基础解系为α₁=(1，0，0)^T； ②当λ₂=5时，解方程组(5E—A)x=0，得基础解系为α₂=(0，1，1)^T； ③当λ₃=1时，解方程组(E一A)x=0，得基础解系为α₃=(0，1，一1)^T．最后将α₁，α₂，α₃单位化得β₁=(1，0，0)^T，β₂=[*] 因此所求正交变换为[*] 因此f的标准形为f=2y₁²+5y₂²+y₃²．

解析

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考研数学三

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