设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α1+α3，Aα3=2α2+3α3 求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。

admin2015-09-14 69

问题设A为三阶矩阵，α₁，α₂，α₃是线性无关的三维列向量，且满足
Aα₁=α₁+α₂+α₃，Aα₂=2α₁+α₃，Aα₃=2α₂+3α₃
求可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵。

选项

答案对应于λ₁=λ₂=1，解齐次线性方程组(E一B)x=0，得基础解系 ξ₁=(一1，1，0)^T，ξ₂=(一2，0，1)^T 对应于λ₃=4，解齐次线性方程组(4E一B)x=0，得基础解系 ξ₃=(0，1，1)^T 令矩阵 [*] 因Q^-1BQ=Q^-1C^-1ACQ=(GQ)^-1A(CQ)，记矩阵 P=CQ=(α₁，α₂，α₃)[*]=(一α₁+α₂，一2α₁+α₃，α₂+α₃) 则有p^-1AP=Q^-1BQ=diag(1，1，4)为对角矩阵，故P即为所求的可逆矩阵。

解析

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考研数学三

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设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α1+α3，Aα3=2α2+3α3 求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。

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