(1)若A可逆且A～B，证明：A～B； (2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．

admin2015-07-22 60

问题 (1)若A可逆且A～B，证明：A^*～B^*；
(2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．

选项

答案(1)因为A可逆且A～B所以B可逆，A，B的特征值相同且｜A｜＝｜B｜．因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得P^－1AP＝B，而A^*＝｜A｜A^－1，B^*＝｜B｜B^－1，于是由P^－1AP＝B，得(P^－1AP)^－1＝B^－1，即P^－1A^－1P＝B^－1，故P^－1｜A｜A^－1P＝｜A｜B^－1或P^－1A^*P＝B^*，于是A^*～B^*． (2)因为A～B，所以存在可逆阵P，使得P^－1AP＝B，即AP＝PB，于是AP＝PBPP^－1＝P(BP)P^－1，故AP～BP．

解析

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考研数学一

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